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Schülerforum - Gleichungen


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 Gleichungen
Autor:
 Felipis
Datum:
 05.06.2012 15:55
Fach:
 Mathematik

hallo ich hab seit heute gleichungen in der schule und ich versthe das nicht so ganz wie löse ich am besten so eine aufgabe wie die hier (Beispiel)...

2x + 40 + 4x = 35 - 9x

Mein Lehrer erklärt es zu kompliziert... Bitte genau erklären thx im vorraus!



 Re: Gleichungen
Autor:
 starliner (Profil)
Datum:
 05.06.2012 18:41
Fach:
 Mathematik

Hallo

Lineare Gleichungen bestehen in der Regel aus

Zahlen mit Variablen z.B. 2x wobei dazwischen immer ein Mal steht, es aber nicht geschrieben wird 2x = 2 * x

und

reinen Zahlen, z.B. 5

eine Gleichung kann daher in etwa so aussehen:

2x + 3 +8x + 2 = 35 – 5x

Dabei kann es sein, dass auf der einen Seite nur 1 mal Zahlen mit Variablen,
oder nur 1 x eine reine Zahl vorkommt, 10 – 5x

oder beides mehrmals vorkommt, 2x + 5 + 8x

Wichtig ist, es ist immer das = zu beachten,
was auf der einen Seite steht ist gleich dem, was auf der anderen Seite steht, wie bei einer Wippe auf dem Spielplatz.

Wenn also, auf der einen Seite was „weggenommen wird“,
muß das gleiche auf der anderen Seite gemacht werden, damit das Gleichheitszeichen stimmt.

8 = 3+5 (auf der linken Seite minus 2) => 6 = 3+5 das stimmt nicht,
aber auf beiden Seiten minus 2 => 6 = 3+5-2 das stimmt.
Dieses Prinzip ist wichtig!

Meist ist es die Aufgabe, die Gleichung so umzuformen/umzurechen, dass die Variable alleine auf der einen Seite des = steht, und eine richtige Zahl auf der anderen.

Die Gleichung wird nach der Variablen (meist x genannt) aufgelöst, um zu sehen, welche Zahl in der Ausgangsgleichung für die Variable eingesetzt werden muß, damit die Gleichung stimmt. Dabei wird immer die entgegengesetzte Rechnung angewendet, die vor der Zahl, vor der Variable steht.

Beispiel: 8x + 5 = 45

Um bei 8 x + 5 = 45 die +5 auf der linken Seite „wegzurechen“
muß also auf beiden Seiten -5 gerechnet, links bleibt dann nur 8x stehen, rechts muß entsprechend gerechnet werden, also 45-5 = 40, also

8x + 5 = 45 /auf beiden Seiten minus 5
<=> 8x = 40 /auf beiden Seiten geteilt durch 8,
bei 8x steht ja eigentlich
ein mal zwischen 8 und x
<=> x = 5

Zurück zur Aufgabe:

2x + 3 + 8x + 2 = 35 – 5x

Hier (wie bei allen Gleichungen) kann es nur eine Zahl geben, die man einsetzten kann, damit die Gleichung stimmt. Das ist dann die Aufgabe.

Als erstes werden auf beiden Seiten die jeweiligen Zahlengruppen (Zahlen mit Variablen und reine Zahlen zusammengefasst, also wie in einem Obstkorb: Äpfel zu Äpfel und Bananen zu Bananen)

2x + 3 + 8x + 2 = 35 – 5x

10x + 5 = 35 – 5x

Bitte immer so schreiben, dass die = Zeichen untereinander stehen, hab ich hier jetzt nicht ganz hinbekommen.

Im nächsten Schritt wird „verschoben“, das heißt „Äpfel“ auf die eine Seite, „Bananen“ auf die andere.
Dabei ist es eigentlich unwichtig, ob die „Äpfel“ links und die „Bananen“ rechts vom = stehen,oder umgekehrt.
„Äpfel“ steht hier für die Zahlen mit Variablen,
„Bananen“ für die reinen Zahlen.

Es muß so gerechnet werden, dass auf der einen Seite nur die Variable (eventuell mit einer Zahl davor, z.B.2x) steht und auf der anderen Seite nur reine Zahlen (z.B. 10)

10x + 5 = 35 – 5x /hier bietet sich an auf beiden
Seiten plus 5 x zu rechen:
<=> 15x + 5 = 35 Da beide Gleichungen das Gleiche
meinen/ausdrücken,
sollte vor der zweiten Gleichung
das <=> Zeichen stehen,
das ist das so genannte Äquivalenz-
Zeichen,
bedeutet also die eine Gleichung
ist gleich der anderen

<=> 15x + 5 = 35 nun steht links Variable plus reine
Zahl und rechts nur eine reine Zahl,
also muß die reine Zahl links auf
die andere Seite
(„Bananen“ zu „Bananen“)

<=> 15x + 5 = 35 /auf beiden Seiten minus 5

<=> 15x = 30 zwischen 15 und x steht ja
eigentlich ein Mal,
also muß die umgekehrt Rechnung
gemacht werden

15x = 30 / auf beiden Seiten geteilt durch 15

<=> x = 2 Das ist die Lösung,
meist wird die noch unterstrichen.

Zum Schluß und zur Kontrolle folgt nun noch die Probe,
das heißt, die Lösungszahl wird in der Anfangsgleichung für die Variable eingesetzt,
wenn dann das = Zeichen stimmt, ist die Lösungszahl richtig.

Probe:

2x + 3 +8x + 2 = 35 – 5x

überall da, wo ein x steht, kommt nun eine 2 (das ist ja die Lösung gewesen)

2*2 + 3 + 8*2 + 2 = 35 – 5*2 (Es gilt „Punkt-vor-Strich“)

<=> 4 +3 + 16 + 2 = 35 - 10

<=> 7 + 18 = 35 – 10

<=> 25 = 25

Soweit klar?
Sonst gerne mehr dazu.
Viel Spaß, viel Erfolg,
internette Grüße

starliner

Anhänge: lineare Gleichungen-allgemein.doc (32kB)  




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